Ramas de la Matemática: Conceptos importantes de la Geometría
La Geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.
El primer sistema axiomático lo establece Euclides,
aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro
sistema axiomático, este ya completo. Como en todo sistema formal, las
definiciones, no solo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus
relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes
abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.
Esto significa que las palabras “punto”, “recta” y “plano”
deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que
verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de
la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del
modelo “tradicional”.
Los siguientes son algunos de los conceptos más importantes en geometría
Puntos:
Los puntos se consideran objetos fundamentales en
la geometría euclidiana y se han definido de diversas formas, incluida la
definición de Euclides como "aquello que no tiene parte" y mediante
el uso de álgebra o conjuntos anidados.
En muchas áreas de la geometría, como la geometría analítica, la geometría diferencial y la topología, se considera que todos los objetos se construyen a partir de puntos, sin embargo, se ha realizado algún estudio de geometría sin referencia a puntos.
Líneas:
Euclides describió una línea como "longitud
sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos
sobre sí misma". En las matemáticas
modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está
estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría.
![](https://www.mundoprimaria.com/wp-content/uploads/2021/02/lineas-poligonale-abiertas.jpg)
Por ejemplo, en geometría analítica, una línea en
el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas
satisfacen una ecuación lineal dada, pero en un entorno más abstracto, como la
geometría de incidencia, una línea puede ser un objeto independiente, distinto
del conjunto de puntos que se encuentran en él.
En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos.
Planos:
Un plano es una superficie plana bidimensional que
se extiende infinitamente.
Los planos se utilizan en todas las áreas de la
geometría.
Por ejemplo, los planos se pueden estudiar como una superficie topológica sin hacer referencia a distancias o ángulos; se puede estudiar como un espacio afín, donde se pueden estudiar la colinealidad y las proporciones, pero no las distancias se pueden estudiar como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo y así sucesivamente.
Ángulos:
Euclides define un ángulo plano como la inclinación
entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre
sí.
En términos modernos, un ángulo es la figura
formada por dos rayos, llamados lados del ángulo, que comparten un punto final
común, llamado vértice del ángulo.
![](https://concepto.de/wp-content/uploads/2013/08/angulos-prueba-1-e1620161637812.png)
Superficies:
Una superficie es un objeto bidimensional, como una
esfera o un paraboloide.
En geometría diferencial y topología, las
superficies se describen mediante "parches" bidimensionales (o vecindades)
que se ensamblan mediante difeomorfismos u homeomorfismos, respectivamente.
En geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinómicas.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Gaussian_curvature.svg/300px-Gaussian_curvature.svg.png)
Longitud, área y volumen:
La longitud, el área y el volumen describen el
tamaño o la extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres
dimensiones, respectivamente.
En geometría euclidiana y geometría analítica, la
longitud de un segmento de línea a menudo se puede calcular mediante el teorema
de Pitágoras.
![](https://matematicasparaticharito.files.wordpress.com/2015/03/metro_medida.png)
El área y el volumen pueden definirse como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o pueden describirse y calcularse en términos de longitudes en un plano o espacio tridimensional.
![](https://sites.google.com/site/geometriaanalaura/_/rsrc/1483946205856/medida-y-calculo-geometrico/area/areas-figuras-planas.jpg?height=288&width=400)
Los matemáticos han encontrado muchas fórmulas
explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos
geométricos.
![](https://matematicasmodernas.com/wp-content/uploads/2014/05/volumen-de-los-cuerpos-geom%C3%A9tricos.gif)
En cálculo, el área y el volumen se pueden definir en términos de integrales, como la integral de Riemann o la integral de Lebesgue.
Congruencia y similitud:
La congruencia y la similitud son conceptos que describen cuando dos formas tienen características similares.
En la geometría euclidiana, la similitud se
usa para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la
congruencia se usa para describir objetos que son iguales tanto en tamaño como
en forma.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Hatch_marks.svg/1200px-Hatch_marks.svg.png)
![](https://sites.google.com/site/geometriaanalaura/_/rsrc/1483938739338/introducion/1-11-semejanza-de-triangulos/triangulos_semejantes.png)
“Similitud"
Hilbert, en su trabajo sobre la creación de una
base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término
indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas.
La congruencia y la similitud se generalizan en la geometría de transformación, que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones.
Por si quieres saber más sobre los Conceptos de la
Geometría mira el siguiente video:
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